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 운영자 2008-01-31 01:53:00 | 조회 : 5030
제      목  수학적발견의 논리(라카토스 지음, 우정호 옮김) 2001-4-1
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수학적 발견의 논리 Proofs and Refutations  =>"본문보기&구매하기"

임레 라카토스| 우정호 역| 아르케| 2001.04.01 | 322p | ISBN : 8988791932


▶ 책의 내용          

교사와 학생간의 대화형식을 빌어 역사 발생적으로 분석한 수학사!!

라카토스는 오일러의 다면체 정리를 주제로 택하여 18세기부터 20세기 초까지의 수학사를 역사 발생적으로 분석하면서 수학의 발생이 어떤 논리에 따라 이루어지는가를 교사와 학생간의 대화형식으로 논의하고 있다.

현대 수리 철학에 뚜렷한 한 획을 그은 라카토스의 역작!!

여기서 제기되는 '역사 발생의 논리'에 따른 수학인식론은 기성의 유클리드적인 연역체계를 그대로 수학인식론으로 간주하는 입장에 대한 비판이다.

라카토스가 고려하고 있는 또 하나의 중요한 입장은 포퍼가 제기한 '비판적 오류주의'로, 라카토스는 이러한 포퍼의 철학적 입장을 수학에 적용하여 수학적 지식의 성장을 '증명과 반박'의 논리로 설명한다. 말하자면 수학은 증명과 반박의 논리에 의한 추측의 개선을 통해 발전하는 것이며, 따라서 비형식적인 수학적 지식은 추측에 불과하다는 것이다.

그러나 라카토스가 수학의 논리적 구성을 무시하는 것은 결코 아니며, 그가 보다 중요하게 확립하고자 하는 것은 기성 수학의 체계적인 연역적 접근과 발생 과정에 있는 수학의 발견적 접근의 조화이다.

"이 책은 수학교육학도와 수리 과학 분야의 연구에 종사하는 이들은 물론이고, 이 분야를 전공하고 있는 학생들, 수리 철학과 수학사 연구에 뜻을 둔 수학도, 특히 수학 교육, 수학교사 교육에 관계하고 있는 모든 이들과, 장래 수학 교사로서 교육에 헌신하고자 하는 모든 학생들에게 신선한 충격과 함께 깊은 사색과 반성을 불러일으키리라고 믿어 의심치 않는다."

한국어로 번역되어 출간된 지 10년이 지나, 절판되었던 책을 다듬어 다시 세상에 내놓은 역자 우정호(서울대 수학교육과)교수의 말이다.

▶ 저자소개

임레 라카토스(Imre Lakatos, 1922-1976)
저자는 헝가리 태생의 유태인으로서 1956년 영국으로 망명, 캠브리지 대학에서 수리철학을 전공하였다.
K.포퍼와 G.폴리아로쿠터 사상적 영햐을 받았으며 1961년 본 역서의 원본인 박사학위 논문을 제출하였다. 1960년부터 London School of Economics의 교수로 재직, 1965년에는 런던 과학철학 국제콜로키움을 조직하고 그 논문집을 편집하여 현대 비판주의적 과학철학의 확립에 커다란 기여를 하였다.

▶ 역자소개

우정호
서울대학교 사범대학 수학교육과 졸업
서울대학교 교육대학원 졸업(수학교육학 전공, 교육학 석사)
일본 히로시마대학 대학원 졸업(수학교육학 전공, 교육학 박사)
현재 서울대학교 사범대학 교수
저서 및 역서 [수학교육학 개론](共著), [어떻게 문제를 풀 것인가], [학교 수학의 교육적 기초], [수학 학습 ―지도 원리와 방법]

▶ 목  차        

제 1 장 증명과 반박

1 문제와 추측
2 한 가지 증명
3 국소적 반례이지만 전면적 반례가 아닌 반례에 의한 증명의 비판
4 전면적 반례에 의한 추측의 비판
5 전면적 반례이지만 국소적 반례가 아닌 반례에 의한 증명―분석의 비판. 엄밀성의 문제
6 국소적 반례이지만 전면적 반례가 아닌 반례에 의한 증명의 비판으로의 복귀. 내용의 문제
7 내용의 문제에 대한 재고
8 개념 형성
9 비판은 어떻게 수학적 진을 논리적 진으로 전환시킬 수 있는가

제 2 장 형식적 증명

편집자의 말
1 벡터 대수의 '완벽하게 알려진' 용어를 사용한 추측의 번역. 번역의 문제
2 추측에 대한 또 다른 증명
3 증명의 최종성에 대한 몇 가지 의심. 번역 절차와 정의에 대한 본질주의자의 접근 대 유명론자의 접근

부록 I 증명과 반박 방법에 대한 또 다른 사례 연구

1 코시의 '연속성의 원리'에 대한 옹호
2 사이델(Seidel)의 증명과 증명―생성된 평등 수렴의 개념
3 아벨의 예외 배제법
4 증명-분석 방법의 발견 과정에서의 장애

부록 II 연역주의자의 접근법 대 발견적 접근법

1 연역주의자의 접근법
2 발견적 접근법. 증명―생성 개념

▶ 미리보기    

저자서문 - 라카토스

사고의 역사에서는 강력한 새로운 방법이 나타나면, 그 새로운 방법으로 다룰 수 있는 여러 가지 문제에 대한 연구는 급속히 진전되고 각광을 받는 반면, 나머지 분야는 무시되거나 잊혀지기까지 하며 그에 대한 연구가 경멸을 받는 일도 종종 일어난다.

수리 철학 분야에서는 금세기에 메타 수학(mata-mathematics)*이 역동적으로 발달한 결과 이러한 상황이 일어난 것 같다.

메타 수학의 주제는 수학의 추상화인바, 거기서 수학 이론은 형식적 체계로, 증명은 일련의 잘 형식화된 공식으로, 정의는 '이론적으로는 없어도 되는' 그러나 '인쇄상으로는 편리한' '간략 장치'로 대치된다.

이러한 추상화는 수학 방법론의 몇 가지 문제를 해결하기 위한 강력한 수법을 제공하고자 하는 힐베르트(Hilbert)가 고안한 것이다. 그러나 메타 수학적인 추상화의 범위를 벗어나는 문제도 있는바, 비형식적인(실질적인) 수학 및 그 성장과 관련된 모든 문제들과 수학적인 문제 해결의 상황 논리와 관련된 모든 문제가 그러하다.

본인은 수학을 형식적이고 공리적인 추상화와 (그리고 수리 철학을 메타 수학과) 동일시하는 수리 철학 학파를 '형식주의자' 학파라고 부를 것이다. 카르납(Carnap, 1937)에서 이러한 형식주의자적인 입장에 대한 아주 분명한 진술을 찾아볼 수 있다. 카르납은 다음과 같이 주장한다. (a) '철학은 과학의 논리로 대치되어야 한다 ……' (b) '과학의 논리는 과학 언어의 논리적 구문에 불과하다 ……' (c) '메타 수학은 수학 언어의 구문이다'(pp. xiii 및 9). 다시 말해, 수리 철학은 메타 수학으로 대치되어야 한다.

수학에 대한 형식주의자들의 개념에 의하면, 수학 본연의 역사란 존재하지 않으므로, 형식주의는 수학의 역사를 수리 철학과 분리시키고 있다. 형식주의자라면 누구라도 불(Boole)의 {사고의 법칙}(1854)이 '수학에 관해 쓰여진 최초의 책'이라는 러셀(Russell)의 '낭만적인' 그러나 진지한 의견에 기본적으로 동의할 것이다.

형식주의는 일반적으로 수학이라고 이해되어 온 대부분의 것에 대해서 수학의 자격을 부정하고 있으며, 따라서 수학의 성장에 대해서 이야기할 것이 아무것도 없는 것이다. 수학 이론에 대한 그 어떤 '창조적' 시대도, 그 어떤 '비판적' 시대도 형식주의자의 천국에의 입장은 용납되지 않을 것이다. 거기서 수학 이론은 지상의 불확실성이라는 불결함을 모두 쫓아내고 천사처럼 거주한다. 그렇기는 해도, 흔히 형식주의자들은 타락한 천사를 위해 작은 뒷문을 열어 놓고 있다. 우리가 어떤 '수학과 그 밖의 다른 것의 혼합물'에 대해, '어떤 의미에서 그것들을 포함하는' 형식 체계를 찾을 수 있다는 것이 판명되면, 그런 것들도 천국에의 입장이 허용되기도 한다(Curry, 1951, pp. 56-7). 그러한 조건 때문에 뉴턴은 페아노(Peano), 러셀, 콰인(Quine)이 미적분학을 형식화함으로써 그가 천국에 들어가도록 도와주기까지 4세기를 기다리고 있어야 하였다. 디랙(Dirac)은 좀더 운이 좋아서 그의 생전에 슈바르츠(Schwartz)가 그의 영혼을 구해 주었다. 아마도 여기서 우리는 메타 수학자가 직면하고 있는 역설적인 곤경에 대해서 언급해야만 할 것 같다. 형식주의자적인 기준 또는 연역주의자적인 기준에서조차 말하더라도 메타 수학자는 정직한 수학자가 아니다. 듀돈네(Dieudonn)는 '지적인 완전 무결성을 바라는 모든 수학자에게 부과되는 자신의 추론을 공리적 형태로 표현하는 절대적 필요성'에 대해 이야기하고 있다(1939, p. 225).

현재 만연되고 있는 형식주의하에서는 칸트의 말을 다음과 같이 번안하고 싶다. 수학의 역사는 철학의 인도를 받지 않아 맹목적이 되었으며, 반면 수리 철학은 수학의 역사에서 가장 흥미를 자아내는 현상에 등을 돌림으로써 공허하게 되었다.

'형식주의'는 논리 실증주의 철학의 보루이다. 논리 실증주의에 따르면 명제는 오직 '항진적'이거나 또는 경험적일 때에만 의미가 있다. 비형식적 수학은 '항진적'이지도 않고 경험적이지도 않기 때문에 무의미한, 전혀 터무니없는 것일 수밖에 없다.

논리 실증주의의 독단은 수학의 역사와 수리 철학에 해가 되어 왔다. 본 논문의 목적은 수학의 방법론에 관한 몇 가지 문제를 다루고자 하는 것이다. 본인은 '방법'이라는 용어를 폴리아와 베르나이스(Ber- nays)의 '발견술', 포퍼의 '발견의 논리'나 '상황 논리'(situational logic)와 같은 의미로 사용하고 있다.

최근에 '메타 수학'의 동의어로 '수학의 방법론'이라는 용어가 사용되지 않게 된 것은 분명히 형식주의자의 입김이 작용한 것이다. 이는 형식주의자들의 수리 철학에는 발견의 논리로서의 방법론이 들어설 적합한 자리가 존재하지 않음을 말해 준다.

형식주의자들에 따르면 수학은 형식화된 수학과 동일하다. 그러나 형식화된 이론에서 무엇을 발견해 낼 수 있는가? 두 가지를 발견할 수 있다. 첫째는, 적절히 프로그램된 튜링(Turing)기계가 한정된 시간에 풀 수 있는 문제(주장된 어떤 증명이 증명이냐 아니냐 하는 문제와 같은)의 해답을 발견할 수 있다. 그러나 그런 결정 절차에 의해 규정된 삭막한 기계적 '방법'을 끝까지 추구하는데 관심을 갖는 수학자는 없다. 두 번째로, '통제되지 않은 통찰과 행운'이라는 '방법'에 의해서만 인도될 수 있는 문제(비결정적인 이론에서 어떤 공식이 정리인지 아닌지 하는 문제와 같은)의 해답을 발견할 수 있다.

그러나 기계적인 합리주의와 맹목적 추측이란 비합리주의 사이에서 삭막한 선택을 하는 일은 살아 있는 수학에서는 문제가 되지 않는다.

비형식적인 수학의 연구는 연구에 종사하는 수학자들을 위한 풍부한 상황 논리, 기계적인 것도 아니고 비합리적인 것도 아니지만, 형식주의자들의 철학에서는 인정될 수 없으며, 더군다나 고무될 수는 더욱 없는 상황 논리를 밝혀줄 것이다.

수학의 역사와 수학적 발견의 논리 곧, 수학적 사고의 계통 발생과 개체 발생은 형식주의의 비판과 궁극적인 거부 없이는 개발될 수 없다.

그러나 형식주의 수리 철학의 뿌리는 매우 깊다. 그것은 독단주의 수리 철학의 긴 사슬의 가장 최근의 고리이다. 독단주의자와 회의주의자 사이에는 2천 년 이상의 논쟁이 지속되어 왔다. 독단주의자들은 우리 인간의 지력 또는 감각의 힘으로 진리를 획득할 수 있으며 우리가 진리를 획득하였음을 알 수 있다고 주장한다. 반면, 회의주의자들은 (신비적인 경험의 도움이 없이는) 우리는 진리를 획득할 수 없다고 주장하기도 하고 우리가 진리를 획득할 수 있는지 또는 진리를 획득하였는지 알 수 없다고 주장한다. 거듭 그러하였듯이 현재까지 논쟁이 계속되고 있는 이러한 대토론 가운데에서 수학은 독단주의의 도도한 요새가 되어 왔다. 어느 시대의 수학적 독단주의가 '위기'에 처할 때마다 새로운 판이 출현하여 진정한 엄밀함과 궁극적 기초를 다시금 제공해 주어, 결과적으로 권위적인 오류가 없는 반박될 수 없는 수학, 인류에게 부여함으로써 지금까지 신을 기쁘게 한 유일한 과학(Hobbes, 1651, p. 15)이라는 인상을 복구시켜 주곤 하였다. 그래서 대부분의 회의론자들은 독단주의 인식론의 이러한 요새의 난공불락에 체념하게 되었다. 지금의 도전은 때가 늦었다.

본 사례 연구의 핵심은 수학적 형식주의에 도전한 것이지만, 수학적 독단주의의 궁극적 입장에 직접 도전하지는 않을 것이다. 그 가장 겸손한 목적은 비형식적, 준경험적 수학이 의심할 나위 없이 확립된 정리의 수가 단조롭게 증가함으로써 성장해 가는 것이 아니라, 증명과 반박의 논리에 의해, 추측과 비판에 의한 추측의 끊임없는 개선을 통해 성장한다는 점을 상세히 설명하려는 것이다. 그러나 메타 수학은 바로 지금 급속히 발달하고 있는 비형식적이고 준경험적인 수학의 한 패러다임이므로, 이 논문은 암암리에 수학적 독단주의에도 도전해야 할 것이다. 메타 수학의 최근의 역사를 공부하는 학생들은 자신의 분야에서 여기서 기술되고 있는 패턴을 인지할 것이다.

대화 형식은 실화의 변증법을 반영할 것이다. 곧 대화에는 일종의 합리적으로 재구성된 곧, '증류된' 역사가 포함되도록 할 작정이다. 실제의 역사는 각주에서 본문과 조화를 이루게 될 것이며, 따라서 각주 대부분은 본 논문의 유기적인 한 부분으로 간주되어야 할 것이다.

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